$$ ax^3+bX^2+cx+d=0 $$

根的关系:

$$ x1 + x2 + x3 = (-\frac{b}{a}) $$

$$ x1 \times x2 + x1 \times x3 + x2 \times x3 = \frac{c}{a} $$

$$ x1 \times x2 \times x3 = (-\frac{d}{a}) $$

牛顿迭代解方程(x0附近的根)

double Newton_Iterative(double a,double b,double c,double d,double x0)
{
    double f0,f0d,x;
    x = x0;
    do
    {
        x0 = x;
        f0 = ((a * x + b) * x + c) * x + d;
        f0d = ( 3 * a * x + 2 * b ) * x + c;
        x = x0 - f0 / f0d;
    }
    while(fabs(f0) >= 1e-12);
    return x;
}

牛顿迭代法

牛顿迭代法(Newton’s method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在

17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非

常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根

附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,

过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),

求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),

称x1为r的一次近似值。

过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),

称x2为r的二次近似值。

重复以上过程,得r的近似值序列,

其中x(n+1)=x(n)-f(x(n)) /f'(x(n)),

称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。

把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)+(x-x0)^2*f”(x0)/2! +…

取其线性部分,作为非线性方程f(x)=0的近似方程,

即泰勒展开的前两项,则有f(x0)+f'(x0)(x-x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0

则其解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)

这样,得到牛顿法的一个迭代序列:x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n))。