偶尔写写ACM水题还是挺好玩的。(好吧其实是老婆求助我才看滴)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1006

一开始看到这题的时候,感觉一天24小时*60分钟*60秒。把每一秒的最小指针角度记下来再搞个排序。

每个case二分搜一下就好啦。

结果发现最后一个case的结果始终是错的。

后来才发现,原来这不是没秒动一下的,是所有的指针都是时时刻刻都在转的。就不能这么暴力地枚举啦。得讲究一点点数学方法啦。

于是,可以简化问题。假设时钟静止,其他指针相对于时针的速度什么的都算得出来啦。

思路如下:

  • 首先,一天每12小时,三个指针会重复一次,所以只要算12小时就可以啦。
  • 其次,每12小时,时针走了1圈,秒针走了 12×60圈,那么相对于时针秒针走了 (12×60−1)圈
  • 然后,在秒针相对于时针走的每一圈里,分别有三种情况
    • 秒针处于分针前且分针在时针前
    • 秒针处于时针前且分针处于时针后(大于60度)
    • 秒针处于分针后

对于每种情况,分别计算符合角度条件的时间,然后累加即可。

源码如下:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory>
#include <limits>

int main() {
    double d;
    const double& seconds_in_half_day = 12.0 * 60.0;

    // ==========================================
    while (scanf("%lf", &d) != EOF && d >= 0.0) {
        // 每12小时秒针转12 * 60圈
        // 每12小时时针转1圈
        // 每12小时秒针追上时针12 * 60 - 1次

        double cur_m_d = 0.0; // 当前分针度数
        double sum_degree = 0.0;
        // 以时针为原点,秒针每秒转 719/120°,每°要消耗120/719秒
        // 以时针为原点,分针每秒转  11/120°,分针度数 = cur_m_d + 秒针度数 * 11 / 719
        // 以时针为原点,秒针共转 12 * 60 - 1 圈
        for (int i = 0; i < 12 * 60 - 1; ++i) {
            // 1. 秒针在分针前, 分针在时针前
            // cur_m_d + s * 11 / 719 - s >= d => s <= (cur_m_d - d) * 719 / 708
            // d <= s
            // 360 - (cur_m_d + s * 11 / 719) >= d => s <= (360 - cur_m_d - d) * 719 / 11
            double s_d = (cur_m_d - d) * 719 / 708;
            s_d = std::min<double>(s_d, (360.0 - cur_m_d - d) * 719 / 11);
            if (s_d >= d)
                sum_degree += s_d - d;

            // 2. 秒针在分针前, 分针在时针后
            // d <= s
            // 360 - s >= d  =>  s <= 360 - d
            // (cur_m_d + s * 11 / 719) - 360 >= d => s >= (360 + d - cur_m_d) * 719 / 11
            s_d = (360 + d - cur_m_d) * 719 / 11;
            s_d = std::max<double>(s_d, d);
            if (s_d <= 360 - d)
                sum_degree += 360 - d - s_d;

            // 3. 秒针在分针后
            // s - (cur_m_d + s * 11 / 719) >= d  =>   s >= (d + cur_m_d) * 719 / 708
            // cur_m_d + s * 11 / 719 >= d  =>  s >= (d - cur_m_d) * 719 / 11
            // 360 - s >= d  =>  s <= 360 - d
            s_d = (d + cur_m_d) * 719 / 708;
            s_d = std::max<double>(s_d, (d - cur_m_d) * 719 / 11);
            if (s_d <= 360 - d)
                sum_degree += 360 - d - s_d;

            cur_m_d += 360.0 * 11 / 719;
            while (cur_m_d >= 360.0)
                cur_m_d -= 360.0;
        }

        printf("%.03lf\n", sum_degree * 100.0 / (12 * 60 - 1) / 360.0);
    }
    return 0;
}

解题说明

以时针为原点,秒针每秒转 $$\frac{719}{120}^{\circ}$$, 每°要消耗$$\frac{120}{719}^{\circ}$$ 秒

以时针为原点,分针每秒转 $$\frac{11}{120}^{\circ}$$,$$\text{分针当前度数}=\text{分钟起始度数}+\frac{\text{秒针度数}\times 11}{719}$$

以时针为原点,秒针共转 $$ 12 \times 60 - 1 $$

令 cur_m_d 为每圈分钟起始度数,d为输入的最小角度,s为秒针度数。

  1. 秒针在分针前, 分针在时针前
    $$ cur\_m\_d+\frac{s \times 11}{719} - s\geqslant d\rightarrow s\leqslant\frac{\left(cur\_m\_d-d\right)*719}{708} $$

$$ d\leqslant s $$

$$ 360-\left(cur\_m\_d+\frac{s\times11}{719}\right)\geqslant d\rightarrow s\leqslant\frac{\left(360-cur\_m\_d-d\right)\times719}{11} $$

  1. 秒针在分针前, 分针在时针后
    $$ d\leqslant s $$

$$ 360-s\geqq d\rightarrow s\leqslant360-d $$

$$ \left(cur\_m\_d+\frac{s\times11}{719}\right)-360\geqslant d\rightarrow s\geqslant\frac{\left(360+d-cur\_m\_d\right)\times719}{11} $$

  1. 秒针在分针后
    $$ s-\left(cur\_m\_d+\frac{s\times11}{719}\right)\geqslant d\rightarrow s\geqslant\frac{\left(d+cur\_m\_d\right)\times719}{708} $$

$$ cur\_m\_d+\frac{s\times11}{719}\geqslant d\rightarrow s\geqslant\frac{\left(d-cur\_m\_d\right)\times719}{11} $$

$$ 360-s\geqslant d\rightarrow s\leqslant360-d $$